Lois de l'électromagnétisme. 

Des conséquences importantes des équations de Maxwell :

1) Ces équations (voir à droite) prévoient l'existence d'ondes électromagnétiques se propageant dans le vide à la vitesse c : on montrera historiquement que ces ondes sont de la lumière ou des rayonnements non matériels (UV, rayons X,...). 

Montrons à l'aide des équations de Maxwell que chaque composante f des champs électrique E et magnétique B satisfait à l'équation de propagation des ondes                         ∆f-(1/c²).∂²f/∂t² = 0 (par définition : ∆f  = ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² + ∂²f/∂z²). 

Dans la suite les symboles en gras sont des vecteurs. L'espace est muni d'un repère orthonormé (Oxyz) et le point M a pour coordonnées x, y et z dans ce repère. Dans un milieu vide de matière (densité de charges électriques et densités de courants nulles) :

            rot E= -∂B/∂t   et div E = 0 (deux équations de Maxwell)

rot (rot E) = rot (-∂B/∂t) 

En utilisant des formules de mathématiques (par définition grad f  est le vecteur de coordonnées  ∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z) l'équation précédente donne : 

grad (div E) - ∆E = -∂(rot B)/∂t   

∆E = ∂(rot B)/∂t   car div E = 0

     or  rot B = (1/v²) ∂E/∂t (c'est une équation de Maxwell) avec v fonction de la permittivité et de la perméabilité du vide :  v = 1/(permittivité x perméabilité du vide)^(1/2),  on a donc :

∆E = (1/v²) ∂²E/∂t²   

soit  ∆E - (1/v²) ∂²E/∂t² = 0 :

le vecteur E (champ électrique) ainsi que chaque composante f du vecteur E satisfont à l'équation de propagation des ondes, v est vitesse de propagation du champ électrique.

Par exemple si le champ E ne dépend que de x et t, l'équation précédente devient : 

∂²E/∂x²- (1/v²)∂²E/∂t² = 0,  et si f est une composante de E alors  :

 ∂²f/∂x²- (1/v²) ∂²f/∂t² = 0.

Calcul de la vitesse de propagation v du champ électrique :      v = 1/(8,854.10^-12 x 4 π10^-7)^(1/2) = 300 000 000 m/s

                    v est égale à c la vitesse de la lumière.

On montre de la même manière que  ∆B - (1/v²) ∂²B/∂t² = 0 :  le vecteur B (champ magnétique) ainsi que chaque composante du vecteur B satisfont à l'équation de propagation des ondes, v = c est vitesse de propagation du champ magnétique.

On montrera en effet qu'un des aspects de la lumière (et de nombreux rayonnements non matériels) est ondulatoire, de nombreux rayonnements on l'aspect d'onde électromagnétique se propageant dans le vide de matière à la vitesse c = 300 000 km/s .

2) LOI de COULOMB et champ électrique E de l'espace :

- L’expérience montre qu’une charge électrique ponctuelle q’ au point M’(r')  cause une force électrostatique F  sur une charge électrique ponctuelle q au point M(r) telle que : 

F =1/(4πε0).(qq'/d²) er 

avec d = MM’ et er vecteur unitaire de direction la droite (MM') et orienté de M vers M'. On a noté précédemment OM=r et OM'=r'. La valeur de cette force est donc proportionnelle à 1/d² (inversement proportionnelle à d² ).

Cette force s’écrit aussi   F = q E (r )     où   E (r ) = 1/(4πε0).(q'/d²) er .

Le vecteur E (r) qui dépend de la charge q’ et du point M’ ne dépend pas de la charge q mais dépend du point M : ainsi lorsqu’on fixe M’(q’) le vecteur E (r ) ne dépend que de M(r)  : on définit ainsi le champ électrique (causé par la charge q’ placée en M’), E (r) étant déterminé en chaque point M de l’espace (ce champ électrique « emplit l’espace » bien que l'espace soit vide de matière).

L'image ci-contre représente une charge ponctuelle q' positive et placée en M' (au centre de l'image) ainsi que le champ électrique E (r) créé par cette charge q' en différents points M, les droites bleues sont des "lignes de champ".

- Une démonstration assez mathématique permet de retrouver à partir des équations de Maxwell que le champ électrique E créé au point M (dans un espace vide de matière) par une charge ponctuelle q' située en M' (ou par une charge q' à symétrie sphérique de charges et de centre M') est de la forme E (r ) = 1/(4πε0).(q'/d²) er         avec d=MM'.