Lois de l'électromagnétisme. 

Des conséquences importantes des équations de Maxwell :

1) Les ondes électromagnétiques

2) Le champ électrique créé par une charge ponctuelle

3) Le champ du dipôle électrique

4) L'équation de POISSON.

1) Les équations de Maxwell (voir à droite) prévoient l'existence d'ondes électromagnétiques se propageant dans le vide à la vitesse c : on montra historiquement que ces ondes sont de la lumière ou des rayonnements non matériels (UV, rayons X,...). 

Montrons à l'aide des équations de Maxwell que chaque composante f des champs électrique E et magnétique B satisfait à l'équation de propagation des ondes                         ∆f-(1/c²).∂²f/∂t² = 0 (par définition : ∆f  = ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² + ∂²f/∂z²). 

Dans la suite les symboles en gras sont des vecteurs. L'espace est muni d'un repère orthonormé (Oxyz) et le point M a pour coordonnées x, y et z dans ce repère. Dans un milieu vide de matière (densité de charges électriques et densité de courants nulles) :

            rot E= -∂B/∂t   et div E = 0 (deux équations de Maxwell)

rot (rot E) = rot (-∂B/∂t) 

En utilisant des formules de mathématiques (par définition grad f  est le vecteur de coordonnées  ∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z) l'équation précédente donne : 

grad (div E) - ∆E = -∂(rot B)/∂t   

∆E = ∂(rot B)/∂t   car div E = 0

     or  rot B = (1/v²) ∂E/∂t (c'est l'équation de Maxwell du rot B avec j_t=0, la densité de courants est nulle) avec v fonction de la permittivité et de la perméabilité du vide :  v = 1/(permittivité x perméabilité du vide)^(1/2),  on a donc :

∆E = (1/v²) ∂²E/∂t²   

soit  ∆E - (1/v²) ∂²E/∂t² = 0 :

le vecteur E (champ électrique) ainsi que chaque composante f du vecteur E satisfont à l'équation de propagation des ondes, v est vitesse de propagation du champ électrique.

Par exemple si le champ E ne dépend que de x et t, l'équation précédente devient : 

∂²E/∂x²- (1/v²)∂²E/∂t² = 0,  et si f est une composante de E alors  :

 ∂²f/∂x²- (1/v²) ∂²f/∂t² = 0.

Calcul de la vitesse de propagation v du champ électrique :      v = 1/(8,854.10^-12 x 4 π10^-7)^(1/2) = 300 000 000 m/s

                    v est égale à c la vitesse de la lumière.

On montre de la même manière que  ∆B - (1/v²) ∂²B/∂t² = 0 :  le vecteur B (champ magnétique) ainsi que chaque composante du vecteur B satisfont à l'équation de propagation des ondes, v = c est vitesse de propagation du champ magnétique.

On montrera en effet qu'un des aspects de la lumière (et de nombreux rayonnements non matériels) est ondulatoire, de nombreux rayonnements ont l'aspect d'onde électromagnétique se propageant dans le vide de matière à la vitesse c = 300 000 km/s. Certaines de ces ondes électromagnétiques sont périodiques dans le temps (de période temporelle T et de fréquence f = 1/T) et l'espace.

Exemples d'ondes électromagnétiques périodiques :

- Ondes électromagnétiques sinusoïdales (monochromatiques) : 

Une onde électromagnétique sinusoïdale (ou onde monochromatique) est une onde dont le champ électrique et magnétique varient de manière sinusoïdale dans le temps et dans l’espace. Elle est solution des équations de Maxwell, et pour une onde de direction de propagation (Ox) se propageant à la vitesse c dans le sens des x croissants, telle que

                                  E(x,t) = E₀ sin(2π f t - kx + ϕ)

Sa période temporelle est T (et sa fréquence f = 1/T ), k=2π/(cT), son amplitude est E₀ (constantes). Cette onde ne contient qu’une seule fréquence f, si c'est une onde lumineuse elle est indécomposable par un prisme en une somme d’ondes sinusoïdales de fréquences différentes.

- Ondes électromagnétiques périodiques NON sinusoïdales : 

Une onde électromagnétique périodique non sinusoïdale est une onde dont la forme "se répète" dans le temps et l'espace, mais qui n’est pas une sinusoïde. Elle est solution des équations de Maxwell et peut être décomposée en une somme infinie d’ondes sinusoïdales (les harmoniques) de fréquences multiples de f (la fréquence fondamentale) grâce à la série de Fourier : pour une onde de direction de propagation (Ox) se propageant à la vitesse c dans le sens des x croissants,  

                            E(x,t) = ∑_n E_n​ sin(2πn f t - k_nx + ϕ_n​)    la somme porte sur n qui varie de 1 à +∞, 

Exemple : Onde électromagnétique carrée, celle-ci est périodique de fréquence f et alterne brutalement entre deux valeurs, par exemple entre +E₀ (notamment de 0 à T/2) et -E₀ (de T/2 à T) et alors

                                E(x,t) = ∑_n=1,3,5,... ​4E₀ / (nπ) ​​sin(2πnf t - k_nx)  , seule les harmoniques impaires sont présentes

Remarque sur les ondes électromagnétiques lumineuses : 

Un prisme sépare les composantes d’une onde lumineuse non sinusoïdale, révélant son spectre (pour une onde périodoique E(x,t) le spectre est discret) : par exemple une lumière blanche est décomposée par un prisme en lumières de couleurs différentes (ondes associées à des fréquences différentes). Un laser (onde quasi-sinusoïdale et monochromatique) ne sera pas décomposé par un prisme.

2) LOI de COULOMB et champ électrique E de l'espace :

Dans la suite on note 1/(4πε0) = (4πε0)^-1

- L’expérience (notamment les expériences de Charles-Augustin Coulomb) montre qu’une charge électrique ponctuelle q’ au point M’(r')  cause une force électrostatique F  sur une charge électrique ponctuelle q au point M(r) telle que : 

F =(4πε0)^-1.(qq'/d²) er 

avec d = MM’ et er vecteur unitaire de direction la droite (MM') et orienté de M vers M'. On a noté précédemment OM=r et OM'=r'. La valeur de cette force est donc proportionnelle à 1/d² (inversement proportionnelle à d² ).

Cette force s’écrit aussi   F = q E (r )     où   E (r ) = (4πε0)^-1.(q'/d²) er .

Le vecteur E (r) qui dépend de la charge q’ et du point M’ ne dépend pas de la charge q mais dépend du point M : ainsi lorsqu’on fixe M’(q’) le vecteur E (r ) ne dépend que de M(r)  : on définit ainsi le champ électrique (causé par la charge q’ placée en M’), E (r) étant déterminé en chaque point M de l’espace (ce champ électrique « emplit l’espace » bien que l'espace soit vide de matière).

L'image ci-contre représente une charge ponctuelle q' positive et placée en M' (au centre de l'image) ainsi que le champ électrique E (r) créé par cette charge q' en différents points M d'un plan quelconque contenant M', les droites bleues sont des "lignes du champ E" (en tout point d'une telle ligne le vecteur E(r) est tangent : ces lignes de champ sont toutes les droites passant par M').

- Une démonstration "assez mathématique" permet de retrouver à partir des équations de Maxwell que le champ électrique E créé au point M (dans un espace vide de matière) par une charge ponctuelle q' située en M' (ou par une boule de charge électrique q', de centre M' et dont la distribution des charges électriques est homogène : voir démonstration ci-contre) est de la forme

   E (r ) = (4πε0)^-1.(q'/d²) er         avec d=MM'.

Note : dans le cas d'une charge électrique ponctuelle la démonstration utilise la théorie des distributions (voir mathématiques et formes linéaires) et l'adaptation des équations de Maxwell à cette théorie. Une distribution importante est δ la distribution de Dirac telle que :

  ∫∫∫_R³ δ(r )f(r) dxdydz = f(0) 

(f doit appartenir à un espace vectoriel de fonctions défini dans la théorie des distributions)

3) Le champ électrique du dipôle électrique :

Le dipole électrique est constitué de deux charges électriques, une charge électrique q au point A et une charge électrique -q au point B : dans la suite on note r le vecteur OM, où O est le milieu de [AB]. Les deux charges électriques sont opposées, la charge électrique totale du dipôle est donc nulle mais les points A et B étant distincts (non confondus), E(r) le champ électrique total au point M, qui est la somme vectorielle des deux champs électriques créés en M par chaque charge, est NON nul (représentation approximative de lignes de champ électrique d'un dipôle électrique ci-contre). Pour une distance r assez grande devant la distance AB, la norme de E(r) est approximativement proportionnelle à q, à AB et à 1/ r³.

De nombreuses molécules se comportent approximativement comme des dipôles électriques, c'est le cas de la molécule d'EAU qui peut être assimilée à un dipôle électrique microscopique. Si vous approchez d'un fin filet d'eau coulant d'un robinet une tige en plastique (une règle par exemple) qui a été préalablement frottée par certains tissus, le filet d'eau est généralement attiré par la tige (la tige porte alors une charge électrique).

4) L'équation de Poisson de l'électrostatique : considérons des grandeurs qui ne varient pas dans le temps t, notamment le champ électrique et le champ magnétique sont indépendants du temps :   rot E= -∂B/∂t = 0  et donc le champ électrique E dérive d'un potentiel électrique noté V(r) tel que 

           E=- grad V     (on note aussi E = - ∇ V) : l'unité de V est le volt.

Or  div E = ρ /ε0   (équation de Maxwell)  implique div(- grad V ) = ρ /ε0  c'est à dire

 - div(grad V ) = ρ /ε0  et pour conclure on obtient l'équation de Poisson :

                                                                ∆V = - ρ/ε0  .